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In mwbqmatematica, una mwbgmwbwfunzione monotòna è una funzione che mantiene l'ordinamento tra insiemi mwcaordinati. Queste funzioni sono state dapprima definite in mwcqanalisi e successivamente sono state generalizzate nell'ambito più astratto della mwcgteoria degli ordini. I concetti di monotonia nelle due discipline sono in effetti gli stessi, anche se la terminologia è un po' differente. In analisi spesso si parla di funzioni monotone crescenti e monotone decrescenti, la teoria degli ordini invece preferisce i termini monotona e antitona oppure che conserva l'ordine (order-preserving) e che inverte l'ordine (order-reversing).

• Definizione generale

• Monotonia in analisi

• Alcune applicazioni e risultati fondamentali

• Esempi

• Monotonia nella teoria degli ordini

• Logica monotona

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

Sia mwdg f : : P → → Q {\displaystyle f\colon P\to Q} una mwdwfunzione tra due mweainsiemi mweq P {\displaystyle P} e mweg Q {\displaystyle Q} , entrambi dotati di mwewordinamento parziale, denotato col simbolo mwfa ≤ ≤ {\displaystyle \leq } per entrambi gli insiemi. Di solito in analisi si pone l'accento su funzioni tra sottoinsiemi dei mwfqnumeri reali e la relazione d'ordine mwfg ≤ ≤ {\displaystyle \leq } è la relazione d'ordine usuale dei numeri reali, ma questa posizione non è necessaria ai fini di questa definizione.

La funzione mwga f {\displaystyle f} si dice mwgqmonotona se, per ogni mwgg x 1 ≤ ≤ x 2 {\displaystyle x_{1}\leq x_{2}} , allora mwgw f ( x 1 ) ≤ ≤ f ( x 2 ) {\displaystyle f(x_{1})\leq f(x_{2})} . Detto in altri termini, una funzione monotona mwhaconserva l'ordinamento.

In mwiwanalisi matematica di solito non è necessario utilizzare i metodi astratti della teoria degli ordini. Come già sottolineato, le funzioni di solito operano tra mwjasottoinsiemi dei mwjqnumeri reali, ordinati secondo l'ordinamento naturale.

Prendendo spunto dalla forma che ha il mwjwgrafico di una funzione monotona sui reali, una funzione che possiede la proprietà sopra enunciata viene anche detta mwkamonotona crescente (o mwkqmonotona non decrescente).

Analogamente, una funzione viene detta mwkwmonotona decrescente (o mwlamonotona non crescente) se, per ogni mwlq x 1 ≤ ≤ x 2 {\displaystyle x_{1}\leq x_{2}} si ha che mwlg f ( x 1 ) ≥ ≥ f ( x 2 ) {\displaystyle f(x_{1})\geq f(x_{2})} , cioè se mwlwinverte l'ordinamento.

Se la relazione d'ordine mwmq ≤ ≤ {\displaystyle \leq } nella definizione di monotonia è sostituita dalla relazione d'ordine stretto mwmg < {\displaystyle <} , allora si richiede una proprietà più forte. Una funzione che gode di questa proprietà viene detta mwmwstrettamente crescente. Anche in questo caso, invertendo il simbolo di ordinamento, si può ottenere il concetto di funzione mwnastrettamente decrescente. Le funzioni strettamente crescenti o decrescenti sono dette mwnqstrettamente monotone e sono mwnginiettive (perché mwnw a < b {\displaystyle a<b} implica mwoa a ≠ ≠ b {\displaystyle a\neq b} ) e dunque mwoqinvertibili restringendo il codominio all'mwogimmagine.

I termini mwpanon decrescente e mwpqnon crescente evitano ogni possibile confusione con mwpgstrettamente crescente e mwpwstrettamente decrescente, rispettivamente.

In analisi, ognuna delle seguenti proprietà di una funzione mwqg f : : R → → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } implica la successiva:

• mwrq f {\displaystyle f} è monotona;

• mwrw f {\displaystyle f} ha mwsalimite destro e sinistro in ogni punto del suo mwsqdominio;

• mwsw f {\displaystyle f} può avere solo mwtadiscontinuità a salto;

• mwtg f {\displaystyle f} può avere solo una quantità finita o, al più, mwtwnumerabile di mwuadiscontinuità nel suo dominio.

Dimostriamo che la seconda affermazione implica la terza.

Sia l'intervallo mwva [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} l'mwvqinsieme di definizione della funzione mwvg f {\displaystyle f} e sia mwvw x 0 {\displaystyle x_{0}} un punto di mwwadiscontinuità della funzione. Dimostriamo per esclusione che questa deve essere mwwqdi prima specie.

Si consideri mwww f {\displaystyle f} ad esempio monotona non decrescente (un discorso analogo vale per una funzione non crescente). Data la proprietà precedente, mwxa f {\displaystyle f} ammette limite sinistro e destro in mwxq x 0 {\displaystyle x_{0}} :

mwya ∃ ∃ lim x → → x 0 − − f ( x ) =: f ( x 0 − − ) ∧ ∧ ∃ ∃ lim x → → x 0 + f ( x ) =: f ( x 0 + ) . {\displaystyle \exists \lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)=:f(x_{0}^{-})\land \exists \lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)=:f(x_{0}^{+}).}

E deve essere, per la monotonia, mwyg f ( a ) ≤ ≤ f ( x 0 − − ) ≤ ≤ f ( x 0 ) ≤ ≤ f ( x 0 + ) ≤ ≤ f ( b ) {\displaystyle f(a)\leq f(x_{0}^{-})\leq f(x_{0})\leq f(x_{0}^{+})\leq f(b)} , perciò i limiti devono esistere finiti. Questo significa che la discontinuità mwywnon può essere di seconda specie.

Poiché mwzq x 0 {\displaystyle x_{0}} è di discontinuità non può essere mwzg f ( x 0 − − ) = f ( x 0 ) = f ( x 0 + ) {\displaystyle f(x_{0}^{-})=f(x_{0})=f(x_{0}^{+})} , perciò mwzw f ( x 0 − − ) {\displaystyle f(x_{0}^{-})} e mwaa f ( x 0 + ) {\displaystyle f(x_{0}^{+})} non sono eguali, il che mwaqesclude anche la discontinuità "eliminabile".

Per esclusione, allora, in mwaw x 0 {\displaystyle x_{0}} si ha una mwbadiscontinuità di prima specie.

Dimostriamo ora che la terza affermazione implica la quarta.

Valgano le stesse ipotesi della precedente dimostrazione, e sia mwbw x 1 {\displaystyle x_{1}} un altro punto di discontinuità tale che, ad esempio, mwca x 1 > x 0 {\displaystyle x_{1}>x_{0}} . Per la monotonia e per il risultato di cui sopra abbiamo mwcq f ( x 0 − − ) < f ( x 0 + ) ≤ ≤ f ( x 1 − − ) < f ( x 1 + ) , {\displaystyle f(x_{0}^{-})<f(x_{0}^{+})\leq f(x_{1}^{-})<f(x_{1}^{+}),} dove diciture come mwcg f ( x 1 − − ) {\displaystyle f(x_{1}^{-})} sono state definite come nella dimostrazione precedente. Gli intervalli non vuoti mwcw ( f ( x 0 − − ) , f ( x 0 + ) ) {\displaystyle \left(f(x_{0}^{-}),f(x_{0}^{+})\right)} e mwda ( f ( x 1 − − ) , f ( x 1 + ) ) {\displaystyle \left(f(x_{1}^{-}),f(x_{1}^{+})\right)} sono evidentemente mwdqdisgiunti; poiché i mwdgrazionali sono mwdwdensi nei mweareali, ciascuno di questi intervalli ne contiene almeno uno, il quale non è contenuto nell'altro. Posso costruire una funzione che associ biunivocamente un numero razionale mweq q i {\displaystyle q_{i}} a ogni intervallo del tipo mweg ( f ( x i − − ) , f ( x i + ) ) {\displaystyle \left(f(x_{i}^{-}),f(x_{i}^{+})\right)} che lo contiene, il quale intervallo rappresenta il mwewsalto della funzione nel punto di discontinuità mwfa x i {\displaystyle x_{i}} :

mwfw g : x i ⟼ ⟼ ( f ( x i − − ) , f ( x i + ) ) biunivoca {\displaystyle g:x_{i}\longmapsto \left(f(x_{i}^{-}),f(x_{i}^{+})\right)\quad {\text{biunivoca}}}

mwgq h : ( f ( x i − − ) , f ( x i + ) ) ⟼ ⟼ q i biunivoca {\displaystyle h:\left(f(x_{i}^{-}),f(x_{i}^{+})\right)\longmapsto q_{i}\quad {\text{biunivoca}}}

Poiché i numeri razionali sono mwgwnumerabili, il numero di punti di discontinuità in mwha [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} è al più numerabile.

mwhgQ.E.D.

Queste proprietà sono la ragione per la quale le funzioni monotone sono utili nel lavoro tecnico dell'mwiaanalisi matematica. Due proprietà riguardanti queste funzioni sono:

• se mwiw f {\displaystyle f} è una funzione monotona definita su un mwjaintervallo mwjq I {\displaystyle I} , allora mwjg f {\displaystyle f} è mwjwdifferenziabile quasi ovunque su mwka I {\displaystyle I} , cioè l'insieme dei valori mwkq x {\displaystyle x} in mwkg I {\displaystyle I} per i quali mwkw f {\displaystyle f} non è differenziabile in mwla x {\displaystyle x} ha mwlqmisura mwlgnulla, e la mwlwderivata di mwma f {\displaystyle f} è non negativa se è crescente (positiva se strettamente crescente), non positiva se decrescente (negativa se strettamente decrescente); quest'ultima affermazione è un corollario del mwmqteorema di Lagrange.

• se mwmw f {\displaystyle f} è una funzione monotona definita su un intervallo mwna [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} , allora mwnq f {\displaystyle f} è mwngintegrabile secondo Riemann.

Un'importante applicazione delle funzioni monotone la si ha nella mwpqteoria della probabilità. Se mwpg X {\displaystyle X} è una mwpwvariabile casuale, la sua mwqafunzione di distribuzione cumulativa

mwqw F X ( x ) = P ( X ≤ ≤ x ) {\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)}

è una funzione monotona crescente.

Una funzione è unimodale se è monotona crescente fino a un certo punto (la mwrwmwsamoda) e poi è monotona decrescente.

• Una mwtatrasformazione lineare mwtq a x + b {\displaystyle ax+b} è crescente se e solo se mwtg a > 0 {\displaystyle a>0} .

• Le funzioni mwuaesponenziale, mwuqseno iperbolico e mwugtangente iperbolica sono crescenti per ogni mwuw x {\displaystyle x} reale.

• Le funzioni mwvqseno e mwvgcoseno non sono monotone in mwvw R {\displaystyle \mathbb {R} } , poiché oscillano continuamente tra mwwa − − 1 {\displaystyle -1} e mwwq 1 {\displaystyle 1} . Per poterle invertire allora ne si considera la mwwgrestrizione in un opportuno intervallo di ampiezza mwww π π {\displaystyle \pi } : per convenzione si adotta per il seno l'intervallo mwxa [ − − π π / 2 , π π / 2 ] {\displaystyle [-\pi /2,\pi /2]} (in cui il seno è strettamente crescente da mwxq − − 1 {\displaystyle -1} a mwxg 1 {\displaystyle 1} ) e per il coseno l'intervallo mwxw [ 0 , π π ] {\displaystyle [0,\pi ]} (in cui il coseno è strettamente decrescente da mwya 1 {\displaystyle 1} a mwyq − − 1 {\displaystyle -1} ).

• La mwywfunzione quadratica mwza x 2 {\displaystyle x^{2}} è crescente per ogni mwzq x {\displaystyle x} positivo e decrescente per ogni mwzg x {\displaystyle x} negativo.

• mw0a f ( x ) = sup y ≤ ≤ x { g ( y ) } {\displaystyle f(x)=\sup _{y\leq x}\{g(y)\}} , con mw0q g {\displaystyle g} funzione reale qualsiasi, è non decrescente.

• La mw0wfunzione integrale mw1a F ( x ) = ∫ ∫ a x f ( y ) d y {\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(y)dy} , con mw1q f {\displaystyle f} funzione non negativa qualsiasi, è non decrescente.

Nella teoria degli ordini non ci si restringe ai numeri reali, ma si ha a che fare con mw2ainsiemi parzialmente ordinati arbitrari o addirittura con mw2qinsiemi preordinati. In questi casi le definizioni date sopra di monotonia rimangono valide, anche se i termini "crescente" e "decrescente" vengono evitati, dal momento che perdono il loro significato grafico non appena si ha a che fare con ordinamenti che non sono mw2gtotali. Inoltre le relazioni strette mw2w < {\displaystyle <} e mw3a > {\displaystyle >} sono poco usate in molti ordinamenti non totali e quindi non viene introdotta altra terminologia addizionale per esse.

Il concetto duale è spesso chiamato antitonia, anti-monotonia o order-reversing. Perciò una funzione antitona mw3w f {\displaystyle f} soddisfa alla proprietà seguente:

mw4g x ≤ ≤ y ⟹ ⟹ f ( x ) ≥ ≥ f ( y ) {\displaystyle x\leq y\implies f(x)\geq f(y)}

per ogni mw5a x {\displaystyle x} e mw5q y {\displaystyle y} nel suo dominio. È facile vedere che la composizione di due funzioni monotone è a sua volta monotona.

Una mw5wfunzione costante è sia monotona che antitona; inversamente, se mw6a f {\displaystyle f} è sia monotona che antitona, e se il mw6qdominio di mw6g f {\displaystyle f} è un mw6wreticolo, allora mw7a f {\displaystyle f} deve essere costante.

Le funzioni monotone sono di primaria importanza nella teoria degli ordini. Alcune funzioni monotone degne di nota sono le mw7gimmersioni d'ordine (order embedding) (funzioni per le quali mw7w x ≤ ≤ y ⟺ ⟺ f ( x ) ≤ ≤ f ( y ) {\displaystyle x\leq y\iff f(x)\leq f(y)} e gli mw8aisomorfismi d'ordine (immersioni mw8qsuriettive).

La mw9amonotonia dell'implicazione è una proprietà di molti sistemi logici che afferma che le ipotesi di ogni fatto derivato possono essere liberamente estese con assunzioni addizionali. Ogni affermazione che era vera in una logica con questa proprietà, sarà ancora vera dopo l'aggiunta di un qualunque nuovo mw9gassioma (consistente). mw9wLogiche con questa proprietà possono essere chiamate monotone allo scopo di essere distinte dalle logiche non monotone.

Altri progetti

• Wikiversità

• Wikiversità contiene degli appunti sulle funzioni monotone

• citerefmathworld(EN) Eric W. Weisstein, Monotonic Function, su MathWorld, Wolfram Research.